二次函数小结与复习.ppt
,第二十二章 二次函数,,小结与复习,,要点梳理,,,考点讲练,,,,课堂小结,,,,课后作业,,,,,,,,要点梳理,一般地,形如 (a,b,c是常数, __)的函数,叫做二次函数.,y=ax2+bx+c,a ≠0,[注意] (1)等号右边必须是整式;(2)自变量的最高次数是2;(3)当b=0,c=0时,y=ax2是特殊的二次函数.,1.二次函数的概念,2.二次函数的图象与性质:,a>0 开口向上,a < 0 开口向下,x=h,(h , k),y最小=k,y最大=k,在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗,在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘,y最小=,y最大=,3.二次函数图像的平移,y=ax2,左、右平移 左加右减,上、下平移 上加下减,y=-ax2,写成一般形式,沿x轴翻折,4.二次函数表达式的求法,1.一般式法:y=ax2+bx+c (a≠ 0),2.顶点法:y=a(x-h)2+k(a≠0),3.交点法:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),5.二次函数与一元二次方程的关系,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,6.二次函数的应用,1.二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系,解决最大化问题(即最值问题); (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.,2.一般步骤:(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系;(2)列出函数关系式,并确定自变量的取值范围;(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题;(4)检验结果的合理性,是否符合实际意义.,考点讲练,例1 抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为________.,【解析】 方法一:配方,得y=x2-2x+3=(x-1)2+2,则顶点坐标为(1,2). 方法二代入公式 , , 则顶点坐标为(1,2).,(1,2),方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y=ax2+bx+c配方为顶点式y=a(x-h)2+k的形式,得到:对称轴是直线x=h,最值为y=k,顶点坐标为(h,k);也可以直接利用公式求解.,1.对于y=2(x-3)2+2的图像下列叙述正确的是( ) A.顶点坐标为(-3,2) B.对称轴为y=3 C.当x≥3时,y随x的增大而增大 D.当x≥3时,y随x的增大而减小,C,例2 二次函数y=-x2+bx+c的图像如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图像上,且x1y2,【解析】由图像看出,抛物线开口向下,对称轴是x=1,当x<1时,y随x的增大而增大. ∵x1x21,∴y1y2 . 故选B.,B,针对训练,2.下列函数中,当x>0时,y值随x值增大而减小的是( ) A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2,D,例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0;④(a+c)2<b2. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,D,解析:由图像开口向下可得a<0,由对称轴在y轴左侧可得b<0,由图像与y轴交于正半轴可得 c>0,则abc>0,故①正确; 由对称轴x-1可得2a-b<0,故②正确; 由图像上横坐标为 x=-2的点在第三象限可得4a-2b+c<0,故③正确; 由图像上横坐标为x=1的点在第四象限得出a+b+c<0,由图像上横坐标为x=-1的点在第二象限得出 a-b+c>0,则(a+b+c)(a-b+c)<0, 即(a+c)2-b2<0,可得(a+c)2<b2, 故④正确.故选D.,1.可根据对称轴的位置确定b的符号:b=0⇔对称轴是y轴;a、b同号⇔对称轴在y轴左侧;a、b异号⇔对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.,2.当x=1时,函数y=a+b+c.当图像上横坐标 x=1的点在x轴上方时,a+b+c>0;当图像上横坐标x=1的点在x轴上时,a+b+c=0;当图像上横坐标x=1的点在x轴下方时,a+b+c<0.同理,可由图像上横坐标x=-1的点判断a-b+c的符号.,,3.已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x>1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是( ) A.b≥-1 B.b≤-1 C.b≥1 D.b≤1,解析:∵二次项系数为-1<0,∴抛物线开口向下,在对称轴右侧,y的值随x值的增大而减小,由题设可知,当x>1时,y的值随x值的增大而减小,∴抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴 ,即b≤1,故选择D .,例4 将抛物线y=x2-6x+5向上平移 2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是( ) A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-4)2-2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-1)2-3,【解析】因为y=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的解析式为y=(x-3-1)2-4+2,即y= (x-4)2-2.故选B.,3.若抛物线 y=-7(x+4)2-1平移得到 y=-7x2,则可能( ) A.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位,再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位,再向下平移4个单位,B,例5 已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.,,待定系数法,,解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c, 由题意得:,解得, a=2,b=-3,c=5.,∴ 所求的二次函数为y=2x2-3x+5.,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其表达式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5,例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( ) A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7 C.x1=1,x2=﹣7 D.x1=﹣1,x2=7,解析:∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3, ∴ =3,解得m=-6, ∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2-6x-7=0, 即(x+1)(x-7)=0,解得x1=-1,x2=7. 故选D.,例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45. (1)求一次函数的表达式; (2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?,,考点七 二次函数的应用,解:(1)根据题意,得,解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.,(2)W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,,∵抛物线的开口向下, ∴当x<90时,W随x的增大而增大, 而60≤x≤60×(1+45%),即60≤x≤87, ∴当x=87时,W有最大值,此时W=-(87-90)2+900=891.,11.一家电脑公司推出一款新型电脑,投放市场以来3个月的利润情况如图所示,该图可以近似看作为抛物线的一部分,请结合图象,解答以下问题:,(1)求该抛物线对应的二次函数解析式;(2)该公司在经营此款电脑过程中,第几月的利润最大?最大利润是多少? (3)若照此经营下去,请你结合所学的知识,对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损?何时亏损?)作预测分析.,(2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即当x=7时,利润最大,y=49(万元),(3) 没有利润,即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去)或x2=14,而这时利润为滑坡状态,所以第15个月,公司亏损.,例8 如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,∠A=45°,AB=30,BC=x,其中15<x<30.作DE⊥AB于点E,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在F处,DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长; (2)设四边形DEBG的面积为S,求S与x的函数关系式; (3)当x为何值时,S有最大值?并求出这个最大值.,解:(1)由题意,得EF=AE=DE=BC=x,AB=30. ∴BF=2x-30.,(2)∵∠F=∠A=45°,∠CBF-=∠ABC=90°, ∴∠BGF=∠F=45°,BG=BF=2x-30. 所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450.,(3)S= x2+60x-450= (x-20)2+150. ∵a= <0,15<20<30, ∴当x=20时,S有最大值, 最大值为150.,,12.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈,为了节约材料同时要使矩形的面积最大,他利用了自家房屋一面长25m的墙,设计了如图一个矩形的羊圈.,(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积; (2)请你判断他的设计方案是否合理?如果合理,直接答合理;如果不合理又该如何设计?并说明理由.,解:(1)由题意,得羊圈的长为25m,宽为(40-25)÷2=7.5(m). 故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2),(2)设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,(0<x<20). 因为0<10<20,所以当x=10时,S有最大值,此时S=200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m,而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.,二次函数,,二次函数的概念,二次函数与一元二次方程的联系,二次函数的图象与性质,课堂小结,,,不共线三点确定二次函数的表达式,,二次函数的应用,