二次函数小结与复习.ppt

,第二十二章 二次函数,,小结与复习,,要点梳理,,,考点讲练,,,,课堂小结,,,,课后作业,,,,,,,,要点梳理,一般地，形如 (a，b，c是常数， __)的函数，叫做二次函数．,y＝ax2＋bx＋c,a ≠０,[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．,1.二次函数的概念,2.二次函数的图象与性质：,a＞0 开口向上,a ＜ 0 开口向下,x=h,(h , k),y最小=k,y最大=k,在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗,在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘,y最小=,y最大=,3.二次函数图像的平移,y＝ax2,左、右平移 左加右减,上、下平移 上加下减,y＝-ax2,写成一般形式,沿x轴翻折,4.二次函数表达式的求法,1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0),2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0),3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),5.二次函数与一元二次方程的关系,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,6.二次函数的应用,1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．,2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．,考点讲练,例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．,【解析】 方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)． 方法二代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1,2)．,(1,2),方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.,1．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是( ) A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小,C,例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1y2,【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵x1x21，∴y1y2 . 故选B.,B,针对训练,2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ） A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2,D,例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4,D,解析：由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确．故选D.,1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.,2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标 x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.,,3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1,解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .,例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3,【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝ (x－4)2－2.故选B.,3.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可能（ ） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位,B,例5 已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.,,待定系数法,,解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：,解得, a=2,b=－3,c=5.,∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状 相同 a=1或－1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,  顶点为(1,5)或(1,－5) 所以其表达式为: (1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5 (3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5,例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7,解析：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， ∴ =3，解得m=－6， ∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0， 即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7． 故选D．,例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？,,考点七 二次函数的应用,解：(1)根据题意，得,解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.,(2)W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,,∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大， 而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87, ∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.,11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：,(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析．,(2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49(万元）,(3) 没有利润，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.,例8 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．,解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30. ∴BF=2x-30.,（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF-=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30. 所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450.,（3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150. ∵a= ＜0,15＜20＜30， ∴当x=20时，S有最大值， 最大值为150.,,12.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.,(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积； (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.,解：（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(40-25)÷2=7.5(m). 故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2),（2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,(0＜x＜20). 因为0＜10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m,而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.,二次函数,,二次函数的概念,二次函数与一元二次方程的联系,二次函数的图象与性质,课堂小结,,,不共线三点确定二次函数的表达式,,二次函数的应用,